Zadanie 27
(2pkt)
Rozwiąż równanie $(x^2-1)(x^2-2x)=0$.
Aby rozwiązać to równanie, wykorzystamy faktoryzację wyrażeń kwadratowych i rozpatrzymy każde równanie osobno.
Rozwiązanie:
1. Rozdzielenie równania na iloczyny.
Równanie można rozbić na dwa prostsze równania, przyrównując każdy z nawiasów do zera:
$$x^2 - 1 = 0 \quad \lor \quad x^2 - 2x = 0$$
2. Rozwiązanie równania $x^2 - 1 = 0$.
Rozwiązujemy pierwsze równanie, przenosząc jedynkę na prawą stronę i wyciągając pierwiastek:
$$x^2 = 1$$
$$x = 1 \quad \lor \quad x = -1$$
3. Rozwiązanie równania $x^2 - 2x = 0$.
Drugie równanie rozwiążemy przez wyłączenie wspólnego czynnika $x$ przed nawias:
$$x(x - 2) = 0$$
Rozwiązania to:
$$x = 0 \quad \lor \quad x - 2 = 0$$
$$x = 0 \quad \lor \quad x = 2$$
Wniosek:
Całe równanie $x^2 - 1 = 0 \quad \lor \quad x^2 - 2x = 0$ ma cztery rozwiązania: $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$, $x = 2$.