Zadanie 28

Aby udowodnić nierówność, rozbijmy wyrażenie $2b^2$ na sumę dwóch identycznych składników: $b^2 + b^2$. Dzięki temu możemy przekształcić dane wyrażenie w następujący sposób:

$$a(a - 2b) + 2b^2 > 0$$

Co po rozpisaniu daje:

$$a^2 - 2ab + b^2 + b^2 > 0$$

2. Stosowanie wzorów skróconego mnożenia.

Wyrażenie $a^2 - 2ab + b^2$ jest kwadratem różnicy, czyli możemy je zapisać jako $(a - b)^2$. Wówczas całe wyrażenie przyjmuje postać:

$$(a - b)^2 + b^2 > 0$$

3. Analiza otrzymanego wyrażenia.

Wiemy, że $a$ oraz $b$ są różnymi liczbami rzeczywistymi, zatem $a - b$ jest różne od zera. Każda liczba różna od zera podniesiona do kwadratu daje wartość dodatnią, więc $(a - b)^2 > 0$.

Podobnie, $b^2$ jako kwadrat liczby rzeczywistej jest większe lub równe zero. Zatem suma $(a - b)^2 + b^2$ musi być większa od zera, ponieważ do liczby dodatniej dodajemy liczbę nieujemną.

Wniosek:

Udało się udowodnić, że $(a - b)^2 + b^2 > 0$ dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$.