Zadanie 33

Aby rozwiązać to zadanie, musimy skorzystać z własności ciągów geometrycznych oraz równań kwadratowych.

Rozwiązanie:

1. Rozpisanie wyrażeń dla wyrazów ciągu.

Z treści zadania wiemy, że mamy ciąg geometryczny i musimy wyznaczyć iloraz $q$. Skorzystajmy z wzorów na kolejne wyrazy ciągu:

$$a_{2} = a_{1} \cdot q, \quad a_{3} = a_{1} \cdot q^2.$$

Podstawiając te wyrażenia do równania $6a_{1} - 5a_{2} + a_{3} = 0$, otrzymujemy:

$$6a_{1} - 5(a_{1} \cdot q) + a_{1} \cdot q^2 = 0.$$

Możemy wyciągnąć $a_{1}$ przed nawias, co uprości równanie:

$$a_{1} \cdot (6 - 5q + q^2) = 0.$$

Ponieważ $a_{1} \neq 0$, dzielimy równanie przez $a_{1}$:

$$6 - 5q + q^2 = 0.$$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe:

$$q^2 - 5q + 6 = 0.$$

2. Rozwiązanie równania kwadratowego.

Aby rozwiązać równanie kwadratowe, skorzystamy z wyznaczenia delty. Mamy tutaj współczynniki: $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$.

Obliczamy deltę:

$$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1.$$

Następnie obliczamy pierwiastek z delty:

$$\sqrt{\Delta} = \sqrt{1} = 1.$$

Teraz wyznaczamy pierwiastki równania kwadratowego:

$$q_{1} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) - 1}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2,$$

$$q_{2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) + 1}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3.$$

3. Interpretacja wyniku.

Na podstawie treści zadania wiemy, że $q$ musi należeć do przedziału $(2\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$. Przybliżając $\sqrt{2} \approx 1.41$, obliczamy:

$2\sqrt{2} \approx 2.82$ oraz $3\sqrt{2} \approx 4.23$.

Zatem iloraz $q$ musi być większy od około $2.82$ i mniejszy od $4.23$. Spośród otrzymanych rozwiązań, tylko $q = 3$ spełnia ten warunek.

Wniosek:

Jedynym poprawnym rozwiązaniem jest $q = 3$.