Znajdź pary liczb spełniające NWD(a, b) = 14 i NWW(a, b) = 462

Aby rozwiązać to zadanie, korzystamy z następującej zależności pomiędzy największym wspólnym dzielnikiem (NWD) i najmniejszą wspólną wielokrotnością (NWW) dwóch liczb:

$$NWD(a,b)\cdot NWW(a,b)=a\cdot b.$$

Z treści zadania wiemy, że $NWD(a,b)=14$ oraz $NWW(a,b)=462$. Stąd możemy zapisać:

$$14\cdot 462=a\cdot b.$$

Obliczamy prawą stronę równania:

$$14\cdot 462=6468.$$

Zatem mamy równanie:

$$a\cdot b=6468.$$

Wiemy również, że $NWD(a,b)=14$, co oznacza, że zarówno $a$, jak i $b$ muszą być wielokrotnościami liczby 14. Możemy więc zapisać:

$$a=14\cdot m,b=14\cdot n,$$

gdzie $m$ i $n$ to liczby całkowite, które są względem siebie względnie pierwsze ($NWD(m,n)=1$), ponieważ $NWD(a,b)=14$. Teraz podstawiamy te wartości do równania:

$$14\cdot m\cdot 14\cdot n=6468,$$ $$196\cdot m\cdot n=6468.$$

Teraz dzielimy obie strony równania przez 196:

$$m\cdot n=\frac{6468}{196}=33.$$

Teraz szukamy wszystkich par $(m,n)$, które spełniają równanie $m\cdot n=33$ i są względnie pierwsze. Możliwe pary to:

• $m=1$, $n=33$ (oraz zamiana: $m=33$, $n=1$),
• $m=3$, $n=11$ (oraz zamiana: $m=11$, $n=3$).

Teraz obliczamy wartości $a$ i $b$ dla każdej pary:

• Dla $m=1$ i $n=33$: $$a=14\cdot 1=14,b=14\cdot 33=462.$$
• Dla $m=33$ i $n=1$: $$a=14\cdot 33=462,b=14\cdot 1=14.$$
• Dla $m=3$ i $n=11$: $$a=14\cdot 3=42,b=14\cdot 11=154.$$
• Dla $m=11$ i $n=3$: $$a=14\cdot 11=154,b=14\cdot 3=42.$$

Zatem wszystkie pary $(a,b)$, które spełniają warunki zadania, to:

$$\{(14,462),(462,14),(42,154),(154,42)\}.$$