Aby rozwiązać to zadanie, korzystamy z następującej zależności pomiędzy największym wspólnym dzielnikiem (NWD) i najmniejszą wspólną wielokrotnością (NWW) dwóch liczb:
$$NWD(a, b) \cdot NWW(a, b) = a \cdot b.$$
Z treści zadania wiemy, że $NWD(a, b) = 14$ oraz $NWW(a, b) = 462$. Stąd możemy zapisać:
$$14 \cdot 462 = a \cdot b.$$
Obliczamy prawą stronę równania:
$$14 \cdot 462 = 6468.$$
Zatem mamy równanie:
$$a \cdot b = 6468.$$
Wiemy również, że $NWD(a, b) = 14$, co oznacza, że zarówno $a$, jak i $b$ muszą być wielokrotnościami liczby 14. Możemy więc zapisać:
$$a = 14 \cdot m, \quad b = 14 \cdot n,$$
gdzie $m$ i $n$ to liczby całkowite, które są względem siebie względnie pierwsze ($NWD(m, n) = 1$), ponieważ $NWD(a, b) = 14$. Teraz podstawiamy te wartości do równania:
$$14 \cdot m \cdot 14 \cdot n = 6468,$$ $$196 \cdot m \cdot n = 6468.$$
Teraz dzielimy obie strony równania przez 196:
$$m \cdot n = \frac{6468}{196} = 33.$$
Teraz szukamy wszystkich par $(m, n)$, które spełniają równanie $m \cdot n = 33$ i są względnie pierwsze. Możliwe pary to:
- $m = 1$, $n = 33$ (oraz zamiana: $m = 33$, $n = 1$),
- $m = 3$, $n = 11$ (oraz zamiana: $m = 11$, $n = 3$).
Teraz obliczamy wartości $a$ i $b$ dla każdej pary:
- Dla $m = 1$ i $n = 33$: $$a = 14 \cdot 1 = 14, \quad b = 14 \cdot 33 = 462.$$
- Dla $m = 33$ i $n = 1$: $$a = 14 \cdot 33 = 462, \quad b = 14 \cdot 1 = 14.$$
- Dla $m = 3$ i $n = 11$: $$a = 14 \cdot 3 = 42, \quad b = 14 \cdot 11 = 154.$$
- Dla $m = 11$ i $n = 3$: $$a = 14 \cdot 11 = 154, \quad b = 14 \cdot 3 = 42.$$
Zatem wszystkie pary $(a, b)$, które spełniają warunki zadania, to:
$$\{(14, 462), (462, 14), (42, 154), (154, 42)\}.$$