Znajdź pary liczb spełniające NWD(a, b) = 14 i NWW(a, b) = 462

Aby rozwiązać to zadanie, korzystamy z następującej zależności pomiędzy największym wspólnym dzielnikiem (NWD) i najmniejszą wspólną wielokrotnością (NWW) dwóch liczb:

$$NWD(a, b) \cdot NWW(a, b) = a \cdot b.$$

Z treści zadania wiemy, że $NWD(a, b) = 14$ oraz $NWW(a, b) = 462$. Stąd możemy zapisać:

$$14 \cdot 462 = a \cdot b.$$

Obliczamy prawą stronę równania:

$$14 \cdot 462 = 6468.$$

Zatem mamy równanie:

$$a \cdot b = 6468.$$

Wiemy również, że $NWD(a, b) = 14$, co oznacza, że zarówno $a$, jak i $b$ muszą być wielokrotnościami liczby 14. Możemy więc zapisać:

$$a = 14 \cdot m, \quad b = 14 \cdot n,$$

gdzie $m$ i $n$ to liczby całkowite, które są względem siebie względnie pierwsze ($NWD(m, n) = 1$), ponieważ $NWD(a, b) = 14$. Teraz podstawiamy te wartości do równania:

$$14 \cdot m \cdot 14 \cdot n = 6468,$$ $$196 \cdot m \cdot n = 6468.$$

Teraz dzielimy obie strony równania przez 196:

$$m \cdot n = \frac{6468}{196} = 33.$$

Teraz szukamy wszystkich par $(m, n)$, które spełniają równanie $m \cdot n = 33$ i są względnie pierwsze. Możliwe pary to:

• $m = 1$, $n = 33$ (oraz zamiana: $m = 33$, $n = 1$),
• $m = 3$, $n = 11$ (oraz zamiana: $m = 11$, $n = 3$).

Teraz obliczamy wartości $a$ i $b$ dla każdej pary:

• Dla $m = 1$ i $n = 33$: $$a = 14 \cdot 1 = 14, \quad b = 14 \cdot 33 = 462.$$
• Dla $m = 33$ i $n = 1$: $$a = 14 \cdot 33 = 462, \quad b = 14 \cdot 1 = 14.$$
• Dla $m = 3$ i $n = 11$: $$a = 14 \cdot 3 = 42, \quad b = 14 \cdot 11 = 154.$$
• Dla $m = 11$ i $n = 3$: $$a = 14 \cdot 11 = 154, \quad b = 14 \cdot 3 = 42.$$

Zatem wszystkie pary $(a, b)$, które spełniają warunki zadania, to:

$$\{(14, 462), (462, 14), (42, 154), (154, 42)\}.$$