Podzielność przez 15 i brak podzielności przez 9
(1pkt)
Wyznacz cyfry $x$ i $y$, jeżeli wiadomo, że liczba $235x14y$ jest podzielna przez 15 i nie jest podzielna przez 9.
Aby liczba $235x14y$ była podzielna przez 15, musi być podzielna przez 3 i 5 jednocześnie. Sprawdzamy te warunki.
Podzielność przez 5: Aby liczba była podzielna przez 5, jej ostatnia cyfra (czyli $y$) musi być równa 0 lub 5. Zatem $y = 0$ lub $y = 5$.
Podzielność przez 3: Aby liczba była podzielna przez 3, suma jej cyfr musi być podzielna przez 3. Suma cyfr liczby $235x140$ wynosi:
$$Suma = 2 + 3 + 5 + x + 1 + 4 + 0 = 15 + x.$$Żeby liczba była podzielna przez 3, suma $15 + x$ musi być podzielna przez 3. Sprawdzamy różne wartości $x$:
- Dla $x = 0$: $15 + 0 = 15$, co jest podzielne przez 3.
- Dla $x = 3$: $15 + 3 = 18$, co jest podzielne przez 3.
- Dla $x = 6$: $15 + 6 = 21$, co jest podzielne przez 3.
Tak więc $x$ może być równe 0, 3 lub 6.
Niepodzielność przez 9: Aby liczba nie była podzielna przez 9, suma jej cyfr nie może być podzielna przez 9. Suma wynosi $15 + x$, więc:
- Dla $x = 0$: $15 + 0 = 15$, co nie jest podzielne przez 9.
- Dla $x = 3$: $15 + 3 = 18$, co jest podzielne przez 9 (odpada).
- Dla $x = 6$: $15 + 6 = 21$, co nie jest podzielne przez 9.
Ostatecznie $x = 0$ lub $x = 6$ oraz $y = 0$ lub $y = 5$ spełniają warunki zadania. Liczby: $2350140$, $2356140$, $2350145$, $2356145$.