Oblicz liczbę pięter wieżowców

(1pkt)

W trzech wieżowcach na parterze są lokale użytkowe, a na piętrach mieszkania. Na każdym piętrze każdego z budynków mieszka tyle samo osób, a mieszkańców w tych budynkach jest odpowiednio 420, 462 i 504. Ile pięter ma każdy z wieżowców, jeżeli żaden nie ma więcej niż 15 pięter?

Rozwiązanie

Musimy obliczyć, ile pięter ma każdy wieżowiec. Zakładamy, że liczba mieszkańców na każdym piętrze jest taka sama. Zatem liczba mieszkańców podzielona przez liczbę pięter powinna być liczbą całkowitą.

W celu znalezienia odpowiedzi, musimy znaleźć największy wspólny dzielnik (NWD) liczb 420, 462 i 504, ponieważ liczba pięter musi być wspólnym dzielnikiem tych trzech liczb.

Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze:

420 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7,

462 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11,

504 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7.

Największym wspólnym dzielnikiem tych trzech liczb jest:

N W D (420, 462, 504) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42.

Zatem na każdym piętrze mieszka 42 osoby.

Teraz obliczamy liczbę pięter dla każdego wieżowca, dzieląc liczbę mieszkańców przez 42:

Dla pierwszego wieżowca (420 mieszkańców): $\frac{420}{42} = 10$ pięter.
Dla drugiego wieżowca (462 mieszkańców): $\frac{462}{42} = 11$ pięter.
Dla trzeciego wieżowca (504 mieszkańców): $\frac{504}{42} = 12$ pięter.

Ostatecznie, liczba pięter wynosi odpowiednio 10, 11 i 12 pięter, co spełnia warunek, że żaden wieżowiec nie ma więcej niż 15 pięter.