Reszta z dzielenia $2^{2019}$ przez 3

Musimy znaleźć resztę z dzielenia liczby $2^{2019}$ przez 3. Zauważmy, że potęgi liczby 2 mają cykliczne reszty przy dzieleniu przez 3. Sprawdźmy kilka pierwszych potęg:

• $2^1 \div 3 = 2 \text{ (reszta 2)}$
• $2^2 \div 3 = 4 \div 3 = 1 \text{ (reszta 1)}$
• $2^3 \div 3 = 8 \div 3 = 2 \text{ (reszta 2)}$
• $2^4 \div 3 = 16 \div 3 = 1 \text{ (reszta 1)}$

Widzimy, że reszty z dzielenia potęg liczby 2 przez 3 powtarzają się co dwie potęgi (2, 1, 2, 1, ...).

Skoro reszty te powtarzają się co dwa kroki, to wystarczy znaleźć resztę z dzielenia 2019 przez 2:

$$2019 \div 2 = 1009 \text{ (reszta 1)}.$$

Oznacza to, że $2^{2019}$ ma taką samą resztę z dzielenia przez 3, jak $2^1$, czyli resztę 2.