Dowód, że trzy liczby mają sumę podzielną przez 3

Aby udowodnić, że wśród pięciu dowolnych liczb naturalnych zawsze znajdziemy trzy liczby, których suma jest podzielna przez 3, skorzystajmy z teorii reszt.

Każda liczba naturalna przy dzieleniu przez 3 daje resztę 0, 1 lub 2. Rozważmy pięć liczb i ich reszty przy dzieleniu przez 3.

Możliwe reszty to: $$0, 1, 2.$$

Zakładamy, że mamy pięć liczb, więc zgodnie z zasadą szufladkową muszą istnieć przynajmniej trzy liczby, które mają tę samą resztę, albo kombinacje różnych reszt.

Rozpatrzmy teraz różne przypadki:

• **Przypadek 1**: Są co najmniej trzy liczby, których reszta z dzielenia przez 3 wynosi 0. Wtedy ich suma jest podzielna przez 3, bo $$0 + 0 + 0 = 0.$$
• **Przypadek 2**: Są co najmniej trzy liczby, których reszta z dzielenia przez 3 wynosi 1. Wtedy ich suma wynosi $$1 + 1 + 1 = 3,$$ co jest podzielne przez 3.
• **Przypadek 3**: Są co najmniej trzy liczby, których reszta z dzielenia przez 3 wynosi 2. Wtedy ich suma wynosi $$2 + 2 + 2 = 6,$$ co jest podzielne przez 3.
• **Przypadek 4**: Jeżeli mamy dwie liczby o resztach 1 i jedną liczbę o reszcie 2, to ich suma $$1 + 1 + 2 = 4,$$ co nie jest podzielne przez 3. Wtedy szukamy innej kombinacji reszt. Ale zawsze znajdziemy taki zbiór trzech liczb, że ich suma będzie podzielna przez 3, np. w kombinacji reszt $1, 2, 0$.

Zatem w każdym przypadku zawsze znajdziemy trzy liczby, których suma jest podzielna przez 3.