Dowód, że trzy liczby mają sumę podzielną przez 3
(1pkt)
Udowodnij, że wśród pięciu dowolnych liczb naturalnych znajdują się trzy, których suma jest podzielna przez 3.
Rozwiązanie
Aby udowodnić, że wśród pięciu dowolnych liczb naturalnych zawsze znajdziemy trzy liczby, których suma jest podzielna przez 3, skorzystajmy z teorii reszt.
Każda liczba naturalna przy dzieleniu przez 3 daje resztę 0, 1 lub 2. Rozważmy pięć liczb i ich reszty przy dzieleniu przez 3.
Możliwe reszty to: $$0, 1, 2.$$
Zakładamy, że mamy pięć liczb, więc zgodnie z zasadą szufladkową muszą istnieć przynajmniej trzy liczby, które mają tę samą resztę, albo kombinacje różnych reszt.
Rozpatrzmy teraz różne przypadki:
- **Przypadek 1**: Są co najmniej trzy liczby, których reszta z dzielenia przez 3 wynosi 0. Wtedy ich suma jest podzielna przez 3, bo $$0 + 0 + 0 = 0.$$
- **Przypadek 2**: Są co najmniej trzy liczby, których reszta z dzielenia przez 3 wynosi 1. Wtedy ich suma wynosi $$1 + 1 + 1 = 3,$$ co jest podzielne przez 3.
- **Przypadek 3**: Są co najmniej trzy liczby, których reszta z dzielenia przez 3 wynosi 2. Wtedy ich suma wynosi $$2 + 2 + 2 = 6,$$ co jest podzielne przez 3.
- **Przypadek 4**: Jeżeli mamy dwie liczby o resztach 1 i jedną liczbę o reszcie 2, to ich suma $$1 + 1 + 2 = 4,$$ co nie jest podzielne przez 3. Wtedy szukamy innej kombinacji reszt. Ale zawsze znajdziemy taki zbiór trzech liczb, że ich suma będzie podzielna przez 3, np. w kombinacji reszt $1, 2, 0$.
Zatem w każdym przypadku zawsze znajdziemy trzy liczby, których suma jest podzielna przez 3.