Reszty z dzielenia kwadratu liczby przez 3

Każda liczba naturalna przy dzieleniu przez 3 daje jedną z trzech możliwych reszt: 0, 1 lub 2. Sprawdzimy teraz, jakie reszty otrzymamy, gdy podniesiemy te liczby do kwadratu i podzielimy przez 3.

Przypadek 1: Gdy liczba daje resztę 0 przy dzieleniu przez 3:

$$n = 3k, \quad n^2 = (3k)^2 = 9k^2,$$ $$n^2 \div 3 = 9k^2 \div 3 = 3k^2.$$

Reszta z dzielenia wynosi 0.

Przypadek 2: Gdy liczba daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3:

$$n = 3k + 1, \quad n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1,$$ $$n^2 \div 3 = 9k^2 + 6k + 1 \div 3 = 3k^2 + 2k + \frac{1}{3}.$$

Po podzieleniu resztą z dzielenia przez 3 jest 1.

Przypadek 3: Gdy liczba daje resztę 2 przy dzieleniu przez 3:

$$n = 3k + 2, \quad n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4,$$ $$n^2 \div 3 = 9k^2 + 12k + 4 \div 3 = 3k^2 + 4.$$

Po podzieleniu resztą z dzielenia przez 3 jest 1 (bo 4 \div 3 = 1, reszta 1).

Wnioski: Kwadrat każdej liczby naturalnej przy dzieleniu przez 3 daje resztę 0 lub 1.