Porządkowanie wartości logarytmów

Obliczamy wartości poszczególnych logarytmów.

1. $ \log_{\sqrt{5}} (25\sqrt{5}) $

   Ponieważ $25\sqrt{5} = 25 \times 5^{0{,}5} = 5^2 \times 5^{0{,}5} = 5^{2{,}5}$

   Podstawa: $\sqrt{5} = 5^{0{,}5}$

   Zatem:

   $ \log_{5^{0{,}5}} 5^{2{,}5} = \dfrac{2{,}5}{0{,}5} = 5 $

2. $ \log_5 625 $

   Ponieważ $625 = 5^4$, więc:

   $ \log_5 625 = \log_5 5^4 = 4 $

3. $ \log_5 \dfrac{1}{2} $

   $ \log_5 \dfrac{1}{2} = \log_5 2^{-1} = -\log_5 2 $

   Nie znając dokładnej wartości $\log_5 2$, zauważamy, że jest to liczba dodatnia, więc $ -\log_5 2 < 0 $

4. $ \log_{0{,}5} 1 $

   Ponieważ $\log_{a} 1 = 0$ dla dowolnej podstawy $a$, więc:

   $ \log_{0{,}5} 1 = 0 $

5. $ \log_{\frac{1}{2}} 0{,}125 $

   Ponieważ $0{,}125 = \dfrac{1}{8} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^3$, więc:

   $ \log_{\frac{1}{2}} \left( \dfrac{1}{2} \right)^3 = 3 $

Zatem wartości logarytmów to:

• $ \log_{\sqrt{5}} (25\sqrt{5}) = 5 $
• $ \log_5 625 = 4 $
• $ \log_5 \dfrac{1}{2} \approx -0{,}4307 $
• $ \log_{0{,}5} 1 = 0 $
• $ \log_{\frac{1}{2}} 0{,}125 = 3 $

Uporządkowane rosnąco:

1. $ \log_5 \dfrac{1}{2} $
2. $ \log_{0{,}5} 1 $
3. $ \log_{\frac{1}{2}} 0{,}125 $
4. $ \log_5 625 $
5. $ \log_{\sqrt{5}} (25\sqrt{5}) $